2. Задача: а) Туристы проплыли на лодке 6 км по течению реки и столько же против течения, затратив на весь путь 4,5 часа. Скорость течения реки 1 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

a) Пусть x - собственная скорость лодки (км/ч). 1. Скорость по течению реки: (x + 1) км/ч. 2. Скорость против течения реки: (x - 1) км/ч. 3. Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{6}{x + 1}\) часа. 4. Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{6}{x - 1}\) часа. 5. Общее время в пути: 4,5 часа. Составим уравнение: \[\frac{6}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = 4.5\] Умножим обе части уравнения на (x + 1)(x - 1), чтобы избавиться от знаменателей: \[6(x - 1) + 6(x + 1) = 4.5(x^2 - 1)\] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[6x - 6 + 6x + 6 = 4.5x^2 - 4.5\] \[12x = 4.5x^2 - 4.5\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[4.5x^2 - 12x - 4.5 = 0\] Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[9x^2 - 24x - 9 = 0\] Разделим обе части на 3: \[3x^2 - 8x - 3 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: * a = 3, b = -8, c = -3 * D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100 * \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\) * \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\) Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 3.