Задача 5. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60°. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.

В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD) острый угол (∠A) равен 60°. Нужно доказать, что BC = AD - AB.

1. Проведем высоты BH и CF из вершин B и C на основание AD.
2. Так как трапеция равнобедренная, то AH = FD. Значит, AH = (AD - BC) / 2.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем ∠BAH = 60°. Следовательно, cos(∠BAH) = AH / AB.
4. Выразим AH: AH = AB × cos(60°) = AB × 0.5 = AB / 2.
5. Подставим полученное значение AH в равенство AH = (AD - BC) / 2: AB / 2 = (AD - BC) / 2.
6. Умножим обе части на 2: AB = AD - BC.
7. Выразим BC: BC = AD - AB.

Что и требовалось доказать.