Задача 8: В группе 6 студентов: 3 девушки и 3 юноши. Случайным образом выбирают двух старост и одного заместителя старосты. Постройте дерево возможных исходов выбора.

Решение:

Всего в группе \( 3 \) девушки (Д) и \( 3 \) юноши (Ю), всего \( 6 \) студентов.

Выбираем двух старост и одного заместителя старосты. Это означает, что мы выбираем 3 человек из 6, и для каждого выбранного человека определяется его роль (староста 1, староста 2, заместитель).

Будем строить дерево последовательно:

1. Выбор первой старосты:

• Девушка (Д) - вероятность \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Юноша (Ю) - вероятность \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

2. Выбор второй старосты (из оставшихся 5 студентов):

• Если первая была Д:
• Вторая - Д - вероятность \( \frac{2}{5} \)
• Вторая - Ю - вероятность \( \frac{3}{5} \)
• Если первая была Ю:
• Вторая - Д - вероятность \( \frac{3}{5} \)
• Вторая - Ю - вероятность \( \frac{2}{5} \)

3. Выбор заместителя старосты (из оставшихся 4 студентов):

Рассмотрим все возможные комбинации первых двух старост:

• Старосты: Д-Д (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \))
• Заместитель - Д: вероятность \( \frac{1}{4} \) (осталась 1 Д из 4)
• Заместитель - Ю: вероятность \( \frac{3}{4} \) (осталось 3 Ю из 4)
• Старосты: Д-Ю (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \))
• Заместитель - Д: вероятность \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) (осталось 2 Д из 4)
• Заместитель - Ю: вероятность \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) (осталось 2 Ю из 4)
• Старосты: Ю-Д (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \))
• Заместитель - Д: вероятность \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) (осталось 2 Д из 4)
• Заместитель - Ю: вероятность \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) (осталось 2 Ю из 4)
• Старосты: Ю-Ю (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \))
• Заместитель - Д: вероятность \( \frac{3}{4} \) (осталось 3 Д из 4)
• Заместитель - Ю: вероятность \( \frac{1}{4} \) (осталась 1 Ю из 4)

Итоговые исходы (старосты-заместитель) и их вероятности:

• Д-Д-Д: \( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} \)
• Д-Д-Ю: \( \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \)
• Д-Ю-Д: \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \)
• Д-Ю-Ю: \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \)
• Ю-Д-Д: \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \)
• Ю-Д-Ю: \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \)
• Ю-Ю-Д: \( \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \)
• Ю-Ю-Ю: \( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} \)

Примечание: Здесь роли "двух старост" не различаются (т.е. Д1-Д2-Ю и Д2-Д1-Ю рассматриваются как один тип исхода по полу). Если роли старост различаются, дерево будет сложнее.

Ответ: Дерево возможных исходов включает 8 комбинаций по половому признаку (например, Д-Д-Д, Д-Д-Ю и т.д.) с соответствующими вероятностями, сумма которых равна 1.