Задача 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. Найдите медиану АМ.

Дано:

Треугольник АВС - равнобедренный,

ВС - основание,

AM - медиана,

$$P_{ABC} = 32$$ см,

$$P_{ABM} = 24$$ см.

Найти:

Медиану AM.

Решение:

1. Обозначим стороны треугольника АВС:

$$AB = AC = x$$ (так как треугольник равнобедренный с основанием ВС),

$$BC = y$$.

2. Периметр треугольника АВС равен:

$$P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 32$$ см.

3. AM - медиана, значит, она делит основание ВС пополам:

$$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{y}{2}$$.

4. Периметр треугольника АВМ равен:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \frac{y}{2} + AM = 24$$ см.

5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Поэтому треугольник АМВ - прямоугольный ($$AM \perp BM$$).

6. Из уравнения периметра АВМ:

$$AM = 24 - x - \frac{y}{2}$$.

7. Из уравнения периметра АВС:

$$y = 32 - 2x$$.

8. Подставим выражение для $$y$$ в уравнение для AM:

$$AM = 24 - x - \frac{32 - 2x}{2}$$

$$AM = 24 - x - (16 - x)$$

$$AM = 24 - x - 16 + x$$

$$AM = 8$$ см.

Ответ: Медиана AM равна $$8$$ см.