Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. АВ = 10 см, ВС = 12 см. Найдите периметр треугольника АВМ.

Дано:

Треугольник АВС - равнобедренный,

ВС - основание,

AM - медиана,

$$AB = 10$$ см,

$$BC = 12$$ см.

Найти:

Периметр треугольника АВМ ($$P_{ABM}$$)

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС, боковые стороны равны: $$AB = AC = 10$$ см.

2. AM - медиана, проведенная к основанию ВС. Медиана делит основание пополам, следовательно:

$$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ см.

3. Периметр треугольника АВМ равен сумме длин его сторон:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM$$.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник АМВ - прямоугольный ($$AM \perp BM$$).

5. Найдем длину медианы AM по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВМ:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

$$10^2 = AM^2 + 6^2$$

$$100 = AM^2 + 36$$

$$AM^2 = 100 - 36 = 64$$

$$AM = \sqrt{64} = 8$$ см.

6. Теперь можем найти периметр треугольника АВМ:

$$P_{ABM} = 10 + 6 + 8 = 24$$ см.

Ответ: Периметр треугольника АВМ равен $$24$$ см.