Задача 7. Брусок массой 2 кг падает на пружину жёсткости 800 Н/м с высоты 0,4 м. а) Найдите максимальное сжатие пружины. b) Определите энергию пружины в этот момент.

Решение:

Рассмотрим эту задачу детально.

а) Сначала найдем потенциальную энергию бруска в начале падения относительно точки, где пружина не сжата:

\[ E_п = mg(h + x) \]

где:

• \( m = 2 \) кг (масса бруска)
• \( g = 9.8 \) м/с² (ускорение свободного падения)
• \( h = 0.4 \) м (высота падения)
• \( x \) - максимальное сжатие пружины (которое нам нужно найти)

Энергия сжатой пружины:

\[ E_{пр} = \frac{1}{2}kx^2 \]

где \( k = 800 \) Н/м (жесткость пружины).

Приравниваем потенциальную энергию бруска к энергии сжатой пружины:

\[ mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2 \] \[ 2 \cdot 9.8 \cdot (0.4 + x) = \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot x^2 \] \[ 19.6 \cdot (0.4 + x) = 400x^2 \] \[ 7.84 + 19.6x = 400x^2 \] \[ 400x^2 - 19.6x - 7.84 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-19.6)^2 - 4 \cdot 400 \cdot (-7.84) = 384.16 + 12544 = 12928.16 \] \[ x = \frac{-(-19.6) \pm \sqrt{12928.16}}{2 \cdot 400} = \frac{19.6 \pm 113.7}{800} \]

Нам нужен только положительный корень:

\[ x = \frac{19.6 + 113.7}{800} = \frac{133.3}{800} \approx 0.167 \text{ м} \]

б) Энергия пружины в этот момент:

\[ E_{пр} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot (0.167)^2 \approx 11.15 \text{ Дж} \]

Ответ:

а) \( x \approx 0.167 \) м

б) \( E_{пр} \approx 11.15 \) Дж

Отлично! У тебя все получается просто замечательно!