6. Является ли геометрической прогрессией последова- тельность (6ₙ), если: a) bₙ = 4ⁿ; 6) bₙ = 2 · 5ⁿ; в) bₙ = 2ⁿ - 1? При положительном ответе найдите сумму первых че- тырех ее членов.

Ответ: геометрической прогрессией являются последовательности a) и б)

Решение:

Для последовательности bₙ является геометрической прогрессией, если отношение bₙ₊₁ / bₙ является постоянным для всех n.

a) bₙ = 4ⁿ

• bₙ₊₁ = 4ⁿ⁺¹
• \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4\)
• Так как отношение постоянно (равно 4), то последовательность является геометрической прогрессией.
• Сумма первых четырех членов: b₁ = 4, b₂ = 16, b₃ = 64, b₄ = 256 S₄ = 4 + 16 + 64 + 256 = 340

б) bₙ = 2 ⋅ 5ⁿ

• bₙ₊₁ = 2 ⋅ 5ⁿ⁺¹
• \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 5^{n+1}}{2 \cdot 5^n} = 5\)
• Так как отношение постоянно (равно 5), то последовательность является геометрической прогрессией.
• Сумма первых четырех членов: b₁ = 10, b₂ = 50, b₃ = 250, b₄ = 1250 S₄ = 10 + 50 + 250 + 1250 = 1560

в) bₙ = 2ⁿ - 1

• bₙ₊₁ = 2ⁿ⁺¹ - 1
• \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1} - 1}{2^n - 1}\)
• Отношение не является постоянным, так как зависит от n, поэтому последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрической прогрессией являются последовательности a) и б)