5. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой: а) q = 2/3, S₄ = 65; 5) q = 2, S₈ = 765.

Ответ: a) b₁ = 27, б) b₁ = 3

Решение:

a) Дано: q = \(\frac{2}{3}\), S₄ = 65. Найти: b₁.

• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\]
• Подставляем известные значения: \[65 = \frac{b_1(1-(\frac{2}{3})^4)}{1-\frac{2}{3}}\]
• Упрощаем выражение: \[65 = \frac{b_1(1-\frac{16}{81})}{\frac{1}{3}}\] \[65 = 3b_1(\frac{81-16}{81})\] \[65 = 3b_1(\frac{65}{81})\]
• Выражаем b₁: \[b_1 = \frac{65}{3 \cdot \frac{65}{81}} = \frac{65 \cdot 81}{3 \cdot 65} = \frac{81}{3} = 27\]

б) Дано: q = 2, S₈ = 765. Найти: b₁.

• Используем ту же формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\]
• Подставляем известные значения: \[765 = \frac{b_1(1-2^8)}{1-2}\] \[765 = \frac{b_1(1-256)}{-1}\] \[765 = \frac{-255b_1}{-1}\] \[765 = 255b_1\]
• Выражаем b₁: \[b_1 = \frac{765}{255} = 3\]

Ответ: a) b₁ = 27, б) b₁ = 3