5. Разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а между четвертым и вторым членами равна 9. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Пусть \(b_1\) – первый член, а \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии. Тогда: \[b_5 - b_3 = 18 \Rightarrow b_1q^4 - b_1q^2 = 18 \quad (1)\] \[b_4 - b_2 = 9 \Rightarrow b_1q^3 - b_1q = 9 \quad (2)\] Разделим уравнение (1) на уравнение (2): \[\frac{b_1q^4 - b_1q^2}{b_1q^3 - b_1q} = \frac{18}{9}\] \[\frac{b_1q^2(q^2 - 1)}{b_1q(q^2 - 1)} = 2\] \[q = 2\] Подставим q = 2 в уравнение (2): \[b_1 \cdot 2^3 - b_1 \cdot 2 = 9\] \[8b_1 - 2b_1 = 9\] \[6b_1 = 9\] \[b_1 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5\] Теперь найдем сумму первых шести членов: \[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{1.5(1 - 2^6)}{1 - 2} = \frac{1.5(1 - 64)}{-1} = \frac{1.5 \cdot (-63)}{-1} = 1.5 \cdot 63 = 94.5\] Ответ: 94.5