10. x²+x x⁴ ≤0 x+1 x²

Решим неравенство методом интервалов.

1) Преобразуем неравенство:

• $$\frac{x^2 + x}{x + 1} - \frac{x^4}{x^2} \le 0$$
• $$\frac{x(x + 1)}{x + 1} - x^2 \le 0$$
• $$x - x^2 \le 0$$
• $$x(1 - x) \le 0$$
• $$-x(x - 1) \le 0$$
• $$x(x - 1) \ge 0$$

2) Найдем нули функции:

• $$x = 0$$
• $$x - 1 = 0$$
• $$x = 1$$

3) Отметим нули на числовой прямой:

       +           -          +
---------------------------------------------------
-------(0)--------(1)-------------------------> x

4) Определим знаки функции на каждом интервале:

• $$x < 0$$: (+)/(+)(-) = +
• $$0 < x < 1$$: (-)/(+)(-) = -
• $$x > 1$$: (-)/(+)(+) = +

5) Запишем ответ, учитывая знак неравенства (≤0):

$$x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$$