x² + 1, x ≥ −1, 22. Постройте график функции у = <-1. X Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

График функции состоит из двух частей:

1. При $$x \ge -1$$, функция $$y = x^2 + 1$$ представляет собой параболу с вершиной в точке (0, 1), смещенную на 1 вверх вдоль оси y. В точке $$x = -1$$ значение функции $$y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$$.

2. При $$x < -1$$, функция $$y = -\frac{3}{x}$$ представляет собой гиперболу. В точке, близкой к $$x = -1$$, значение функции $$y = -\frac{3}{-1} = 3$$.

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной прямой.

• Чтобы прямая $$y = m$$ имела с графиком ровно одну общую точку, она должна либо касаться параболы, либо проходить через точку разрыва гиперболы.

При $$x \ge -1$$, наименьшее значение функции $$y = x^2 + 1$$ равно 1 (в точке $$x = 0$$). При $$x = -1$$ функция равна 2. Функция монотонно возрастает при $$x > 0$$.

При $$x < -1$$ функция $$y = -\frac{3}{x}$$ также монотонно возрастает, приближаясь к нулю при $$x \to -\infty$$ и приближаясь к 3 при $$x \to -1$$ слева.

Одна общая точка будет, если прямая $$y = m$$ проходит через:

• Вершину параболы (0;1), то есть $$m=1$$.
• Через точку (-1; 2), m=2.
• $$m=3$$.

Ответ: 1; 2; 3