Решение:
- Жили — глагол прошедшего времени, множественного числа.
- на — предлог, управляющий предложным падежом.
- дальнем — прилагательное, согласованное с существительным «севере» в предложном падеже, мужском роде.
- севере — существительное, отвечающее на вопрос «где?», стоит в предложном падеже.
Ответ: Жили на дальнем севере.