ВЗ. Исследуйте функцию \( y=x^3-3x+1 \) на монотонность и экстремумы.

Исследование функции \( y=x^3-3x+1 \)

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

2. Монотонность:

Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 3 = 0 \)

\( 3x^2 = 3 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = \pm 1 \)

Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 1) \) и \( (1; +\infty) \).

• На интервале \( (-\infty; -1) \) выберем \( x = -2 \). \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-1; 1) \) выберем \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1; +\infty) \) выберем \( x = 2 \). \( y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

3. Экстремумы:

• В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
\( y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \)
• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
\( y_{min} = y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \)

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( [-1; 1] \). Максимум функции: \( y_{max} = 3 \) при \( x = -1 \). Минимум функции: \( y_{min} = -1 \) при \( x = 1 \).