А4. Найдите корни уравнения $$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$$.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( 3^x \). Сделаем замену \( y = 3^x \), тогда \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = y^2 \). Уравнение примет вид:

\( y^2 - 10y + 9 = 0 \)

1. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \).
2. Корни \( y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9 \) и \( y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1 \).
3. Теперь вернёмся к замене:
• \( 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 \)
• \( 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0 \)

Ответ: 0; 2