1078. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) {4y - x = 12, 3y + x = -3; B) {1,5x = 1, -3x + 2y = -2; д) {2x = 11-2y, 6y = 22-4 2- 4x; Sy-3 y - 3x = 0, б) г) {x + 2y = 3, 3y - x = 6; y = -0,5x; e) {-x + 2y = 8, x + 4y = 10.

Решение 1078 a)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} 4y - x = 12 \\ 3y + x = -3 \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[4y - x + 3y + x = 12 - 3\] \[7y = 9\] \[y = \frac{9}{7}\]

Подставим значение y в одно из уравнений, например, во второе:

\[3 \cdot \frac{9}{7} + x = -3\] \[\frac{27}{7} + x = -3\] \[x = -3 - \frac{27}{7}\] \[x = -\frac{21}{7} - \frac{27}{7}\] \[x = -\frac{48}{7}\]

Система имеет единственное решение: x = -\(\frac{48}{7}\), y = \(\frac{9}{7}\).

Решение 1078 б)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим y через x:

\[y = 3x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[3(3x) - x = 6\] \[9x - x = 6\] \[8x = 6\] \[x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Теперь найдем y:

\[y = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\]

Система имеет единственное решение: x = \(\frac{3}{4}\), y = \(\frac{9}{4}\).

Решение 1078 в)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} 1.5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим x:

\[x = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[-3 \cdot \frac{2}{3} + 2y = -2\] \[-2 + 2y = -2\] \[2y = 0\] \[y = 0\]

Система имеет единственное решение: x = \(\frac{2}{3}\), y = 0.

Решение 1078 г)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases}\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[x + 2(-0.5x) = 3\] \[x - x = 3\] \[0 = 3\]

Получили противоречие, значит, система не имеет решений.

Решение 1078 д)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x = 11 - 2y \\ 6y = 22 - 4x \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = \frac{11}{2} - y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[6y = 22 - 4(\frac{11}{2} - y)\] \[6y = 22 - 22 + 4y\] \[6y = 4y\] \[2y = 0\] \[y = 0\]

Тогда x:

\[x = \frac{11}{2} - 0 = \frac{11}{2}\]

Система имеет единственное решение: x = \(\frac{11}{2}\), y = 0.

Решение 1078 e)

Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10 \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[-x + 2y + x + 4y = 8 + 10\] \[6y = 18\] \[y = 3\]

Подставим значение y в одно из уравнений, например, во второе:

\[x + 4 \cdot 3 = 10\] \[x + 12 = 10\] \[x = -2\]

Система имеет единственное решение: x = -2, y = 3.

Приведи уравнения к общему виду и посмотри на коэффициенты. Если они пропорциональны — решений бесконечно много или нет совсем.

Читерский прием: Если после упрощения получается 0 = число, то решений нет. Если 0 = 0, то решений бесконечно много.