4. Высоты остроугольного треугольника NPT, прведенные из вершин N и Р, пересекаются в точке К, угол Т равен 56°. Найти угол NKP.

Пусть NN' и PP' – высоты остроугольного треугольника NPT, пересекающиеся в точке K. ∠T = 56°.

Нужно найти ∠NKP.

Рассмотрим четырёхугольник N'TPK. У него ∠PN'T = 90° (так как NN' – высота) и ∠NPT' = 90° (так как PP' – высота).

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Следовательно,

$$∠N'TP + ∠TPK + ∠PKN' + ∠KN'T = 360°$$$$56° + 90° + ∠PKN' + 90° = 360°$$

$$∠PKN' = 360° - 56° - 90° - 90° = 124°$$

∠NKP и ∠PKN' – смежные углы, следовательно, их сумма равна 180°.

$$∠NKP + ∠PKN' = 180°$$

$$∠NKP = 180° - ∠PKN' = 180° - 124° = 56°$$

Ответ: ∠NKP = 56°