10.8. Высоты АА, И СС, остроугольного треугольника АВС пересека ются в точке Н. Докажите, что: 1) точки Н, С₁, В и А, лежат на одной окружности; 2) точки А, С, А, и С лежат на одной окруж ности.

Ответ: Доказано

• 1) Докажем, что точки H, C₁, B и A₁ лежат на одной окружности:
• Рассмотрим четырехугольник HC₁BA₁. Углы HC₁B и HA₁B прямые, так как CC₁ и AA₁ — высоты.
• Следовательно, ∠HC₁B + ∠HA₁B = 90° + 90° = 180°.
• Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Таким образом, точки H, C₁, B и A₁ лежат на одной окружности.

• 2) Докажем, что точки A, C₁, A₁ и C лежат на одной окружности:
• Рассмотрим четырехугольник AC₁A₁C. Углы AC₁C и AA₁C прямые, так как CC₁ и AA₁ — высоты.
• Следовательно, ∠AC₁C + ∠AA₁C = 90° + 90° = 180°.
• Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Таким образом, точки A, C₁, A₁ и C лежат на одной окружности.

Ответ: Доказано