Вычислите: a) $$2\log_3{\frac{1}{27}} + 6^{\log_6{72} - \log_6{2}}$$ б) $$3\lg{5} + \lg{8}$$

Решение:

а) Вычислим выражение $$2\log_3{\frac{1}{27}} + 6^{\log_6{72} - \log_6{2}}$$.

1. Сначала упростим первое слагаемое:
$$\log_3{\frac{1}{27}} = \log_3{3^{-3}} = -3$$ $$ 2\log_3{\frac{1}{27}} = 2 \cdot (-3) = -6 $$
2. Теперь упростим второе слагаемое, используя свойство логарифмов \(\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}\):
$$ \log_6{72} - \log_6{2} = \log_6{\frac{72}{2}} = \log_6{36} = \log_6{6^2} = 2 $$ $$ 6^{\log_6{72} - \log_6{2}} = 6^2 = 36 $$
3. Сложим результаты:
$$ -6 + 36 = 30 $$

б) Вычислим выражение $$3\lg{5} + \lg{8}$$.

1. Используем свойство логарифмов $$n \log_a{b} = \log_a{b^n}$$:
$$ 3\lg{5} = \lg{5^3} = \lg{125} $$
2. Теперь сложим логарифмы, используя свойство $$\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(b \cdot c)}$$:
$$ \lg{125} + \lg{8} = \lg{(125 \cdot 8)} = \lg{1000} $$
3. Поскольку десятичный логарифм $$\lg{1000} = \log_{10}{1000} = \log_{10}{10^3} = 3$$.