3. Вычислите sin α, если cos α = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$$

Из этого тождества выразим $$sin(\alpha)$$:

$$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$$

$$sin(\alpha) = \pm\sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$$

Подставим известное значение $$cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$:

$$sin(\alpha) = \pm\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$$

Обычно, если не указан диапазон для угла $$\alpha$$, рассматриваются оба значения. Однако, если рассматривать $$\alpha$$ в диапазоне от 0 до 90 градусов (первая четверть), то $$sin(\alpha)$$ будет положительным.

Ответ:

$$sin(\alpha) = \pm\frac{1}{2}$$. Если $$\alpha$$ находится в первой четверти (0-90 градусов), то $$sin(\alpha) = \frac{1}{2}$$.