1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними.

**1. Найдём третью сторону (c) треугольника по теореме косинусов:**

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$, где $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см, $$\gamma = 120^\circ$$.

$$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ)$$

$$cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$, поэтому:

$$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) = 100 + 144 + 120 = 364$$

$$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$ см

**2. Найдём площадь треугольника (S):**

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$, где $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см, $$\gamma = 120^\circ$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ)$$

$$sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, поэтому:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$ см$$^2$$

Ответ:

Третья сторона треугольника равна $$2\sqrt{91}$$ см, а площадь треугольника равна $$30\sqrt{3}$$ см$$^2$$.