Найти интеграл \( \int (4 \cos x + 5x^4 - \frac{1}{x}) dx \)

Решение:

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

\( \int (4 \cos x + 5x^4 - \frac{1}{x}) dx = \int 4 \cos x dx + \int 5x^4 dx - \int \frac{1}{x} dx \)

Вынесем константы за знак интеграла:

\( = 4 \int \cos x dx + 5 \int x^4 dx - \int \frac{1}{x} dx \)

Применим основные правила интегрирования:

• \( \int \cos x dx = \sin x + C \)
• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)

Подставим найденные интегралы:

\( = 4 \sin x + 5 \frac{x^{4+1}}{4+1} - \ln|x| + C \)

\( = 4 \sin x + 5 \frac{x^5}{5} - \ln|x| + C \)

\( = 4 \sin x + x^5 - \ln|x| + C \)

Ответ: \( 4 \sin x + x^5 - \ln|x| + C \).