Вычислите P4 · A⁶₃ - C⁷₅.

Решение:

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

1. Перестановка P₄:

Перестановкой из \( n \) элементов называется число способов, которыми можно упорядочить эти \( n \) элементов. Формула: \( P_n = n! \).

\( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \).

2. Размещения A⁶₃:

Размещением из \( n \) по \( k \) называется число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) и упорядочить их. Формула: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

\( A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \).

3. Сочетания C⁷₅:

Сочетанием из \( n \) по \( k \) называется число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учёта порядка. Формула: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

\( C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 \).

4. Вычисление выражения:

Подставим найденные значения в исходное выражение:

\( P_4 \cdot A_6^3 - C_7^5 = 24 \cdot 120 - 21 \)

\( 24 \cdot 120 = 2880 \)

\( 2880 - 21 = 2859 \)

Ответ: 2859.