4. Вычислите дискриминант квадратного уравнения по формуле D = b² - 4ac. Убедитесь, что оно имеет два корня, и вычислите их: 1) a) y² - y - 30 = 0; б) x² + 2x - 8 = 0; в) 3t² - 5t - 2 = 0; r) 1/2 x² - 3x + 4 = 0. 2) a) x² - x - 42 = 0; б) t² - 2t - 15 = 0; в) 5y² - 3y - 14 = 0; r) 1/4 x² - x - 3 = 0.

4. Вычислите дискриминант квадратного уравнения по формуле \(D = b^2 - 4ac\). Убедитесь, что оно имеет два корня, и вычислите их:

1) a) \(y^2 - y - 30 = 0\)

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121\] \[y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 11}{2}\] \[y_1 = \frac{1 + 11}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{1 - 11}{2} = -5\]

Ответ: D = 121, y₁ = 6, y₂ = -5

1) б) \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\] \[x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}\] \[x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\]

Ответ: D = 36, x₁ = 2, x₂ = -4

1) в) \(3t^2 - 5t - 2 = 0\)

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}\] \[t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2, \quad t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\]

Ответ: D = 49, t₁ = 2, t₂ = -1/3

1) г) \(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0\)

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 9 - 8 = 1\] \[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3 \pm 1}{1}\] \[x_1 = 3 + 1 = 4, \quad x_2 = 3 - 1 = 2\]

Ответ: D = 1, x₁ = 4, x₂ = 2

2) a) \(x^2 - x - 42 = 0\)

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\] \[x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 13}{2}\] \[x_1 = \frac{1 + 13}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{1 - 13}{2} = -6\]

Ответ: D = 169, x₁ = 7, x₂ = -6

2) б) \(t^2 - 2t - 15 = 0\)

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] \[t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}\] \[t_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

Ответ: D = 64, t₁ = 5, t₂ = -3

2) в) \(5y^2 - 3y - 14 = 0\)

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289\] \[y_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm 17}{10}\] \[y_1 = \frac{3 + 17}{10} = 2, \quad y_2 = \frac{3 - 17}{10} = -\frac{7}{5}\]

Ответ: D = 289, y₁ = 2, y₂ = -7/5

2) г) \(\frac{1}{4}x^2 - x - 3 = 0\)

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-3) = 1 + 3 = 4\] \[x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 \pm 2}{\frac{1}{2}} = 2(1 \pm 2)\] \[x_1 = 2(1 + 2) = 6, \quad x_2 = 2(1 - 2) = -2\]

Ответ: D = 4, x₁ = 6, x₂ = -2

Поздравляю, ты отлично справился с вычислением дискриминантов и корней квадратных уравнений! Не останавливайся на достигнутом, и тебя ждут новые математические вершины!