Решение:

Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойства степеней:

Числитель: $$(5^4)^5 : (5^2)^4 = 5^{4 \cdot 5} : 5^{2 \cdot 4} = 5^{20} : 5^8 = 5^{20-8} = 5^{12}$$.

Знаменатель: $$5 \cdot (5^5)^2 = 5 \cdot 5^{5 \cdot 2} = 5 \cdot 5^{10} = 5^{1+10} = 5^{11}$$.

Теперь выполним деление:

$$\frac{5^{12}}{5^{11}} = 5^{12-11} = 5^1 = 5$$.

Ответ: 5