Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ABE и CED равна половине площади параллелограмма.

Пусть ABCD - параллелограмм, E - произвольная точка внутри него.

Проведем высоту BH к основанию AD и высоту EK1 и EK2, где K1 и K2 - точки на AD и BC соответственно.

Площадь параллелограмма ABCD равна $$S_{ABCD} = AD \cdot BH$$

Площадь треугольника ABE: $$S_{ABE} = \frac{1}{2} AB \cdot h_1$$, где h1 - высота из E на AB.

Площадь треугольника CDE: $$S_{CDE} = \frac{1}{2} CD \cdot h_2$$, где h2 - высота из E на CD.

$$AD = BC$$ и $$AB = CD$$

Проведем прямые через E параллельно основаниям AD и BC. Пусть K1 и K2 - точки на AD и BC соответственно, а L1 и L2 - точки на AB и CD соответственно.

Тогда высота EK1 = h3 и EK2 = h4. $$h_3+h_4=BH$$

Площадь треугольника ABE = $$ \frac{1}{2} AB \cdot EL_1$$, где EL1 - высота из E на AB.

Площадь треугольника CDE = $$\\\frac{1}{2} CD \cdot EL_2$$, где EL2 - высота из E на CD.

Площадь треугольника ADE = $$\\frac{1}{2} AD \cdot h_3$$

Площадь треугольника BCE = $$\\frac{1}{2} BC \cdot h_4$$

$$S_{ADE} + S_{BCE} = \\frac{1}{2} AD \cdot h_3 + \\frac{1}{2} BC \cdot h_4 = \\frac{1}{2} AD (h_3+h_4) = \\frac{1}{2} AD \cdot BH = \\frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Аналогично,

$$S_{ABE} + S_{CDE} = \\frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано