Углы при одном из оснований трапеции равны 36° и 54°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 25 и 11. Найдите основания трапеции.

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств трапеции и умение проводить дополнительные построения.

1. Обозначим трапецию ABCD, где AD и BC — основания. Пусть углы при основании AD равны ∠BAD = 36° и ∠CDA = 54°.
2. Обозначим середины сторон AB и CD как M и N соответственно. Тогда MN = 25 (отрезок, соединяющий середины сторон).
3. Обозначим середину диагонали AC как P, а середину диагонали BD как Q. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен PQ = 11.
4. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH = 36°, значит, угол ABH = 90° - 36° = 54°.
5. Сумма углов BAD и CDA равна 36° + 54° = 90°.
6. Продлим боковые стороны трапеции AB и CD до пересечения в точке O. Тогда треугольник AOD — прямоугольный (так как сумма углов при основании равна 90°).
7. MN = (AD + BC) / 2 = 25 => AD + BC = 50.
8. PQ = (AD - BC) / 2 = 11 => AD - BC = 22.
9. Теперь у нас есть система уравнений:
   • AD + BC = 50
   • AD - BC = 22
10. Сложим уравнения, чтобы найти AD: 2AD = 72 => AD = 36.
11. Вычтем уравнения, чтобы найти BC: 2BC = 28 => BC = 14.

Ответ: Основания трапеции равны 36 и 14.