Внутри параллелограмма АBCD выбрали произвольную точку №. Докажите, что сумма площадей треугольников ABN и CND равна сумме площадей треугольников BNC и AND.

Пусть ABCD - параллелограмм, N - произвольная точка внутри параллелограмма.

Докажем, что S(ABN) + S(CND) = S(BNC) + S(AND).

Опустим из точки N перпендикуляры на стороны AB, CD, BC, AD, равные соответственно h1, h2, h3, h4.

Тогда S(ABN) = (1/2) * AB * h1; S(CND) = (1/2) * CD * h2.

S(BNC) = (1/2) * BC * h3; S(AND) = (1/2) * AD * h4.

S(ABN) + S(CND) = (1/2) * AB * h1 + (1/2) * CD * h2 = (1/2) * AB * (h1 + h2).

S(BNC) + S(AND) = (1/2) * BC * h3 + (1/2) * AD * h4 = (1/2) * BC * (h3 + h4).

Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Сумма высот h1 + h2 = h, где h - высота параллелограмма, проведенная к стороне AB. Сумма высот h3 + h4 = H, где H - высота параллелограмма, проведенная к стороне BC.

S(ABN) + S(CND) = (1/2) * AB * h.

S(BNC) + S(AND) = (1/2) * BC * H.

Площадь параллелограмма ABCD равна AB * h = BC * H, следовательно, (1/2) * AB * h = (1/2) * BC * H.

Тогда S(ABN) + S(CND) = S(BNC) + S(AND).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано