27) Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16.

Пусть вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Меньшая сторона равна 16. Длина окружности равна 3x + 4x + 11x = 18x. Длина дуги пропорциональна углу, на который она опирается. Следовательно, углы треугольника относятся как 3x : 4x : 11x. Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла. Наименьший угол равен 3/18 * 180 = 30 градусов. По теореме синусов: $$a / sinA = 2R$$, где a - сторона треугольника, A - угол, лежащий против этой стороны, R - радиус описанной окружности. В нашем случае: $$16 / sin(30) = 2R$$. $$16 / (1/2) = 2R$$. $$32 = 2R$$. $$R = 16$$.

Ответ: 16