Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, \(\angle AOC = 80^\circ\), \(\angle C : \angle A = 3:4\) (рис. 1). Найдите градусную меру дуги AB.

Угол AOC - центральный угол, опирающийся на дугу AC. Его градусная мера равна градусной мере дуги AC, то есть дуга AC = 80°.

Пусть ∠C = 3x, ∠A = 4x. Сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда ∠B = 180° - (∠C + ∠A) = 180° - 7x.

Угол B - вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Значит, ∠B = 1/2 * дуга AC.

180° - 7x = 1/2 * 80°

180° - 7x = 40°

7x = 140°

x = 20°

∠C = 3 * 20° = 60°

∠A = 4 * 20° = 80°

∠B = 180° - 7 * 20° = 40°

Дуга AB = 2 * ∠C = 2 * 60° = 120°