643. Верно ли утверждение, что если (аₙ) — арифметическая прогрессия, то: а) последовательность a₂; a₄; ...; a₂ₙ; ... — является арифметической прогрессией; б) последовательность a₁ - 1; a₂ - 1; ...; aₙ - 1; ... — является арифметической прогрессией; в) последовательность 2a₁; 2a₂; ...; 2aₙ; ... — является арифметической прогрессией; г) последовательность a₁²; a₂²; ...; aₙ²; ... — является арифметической прогрессией?

Краткое пояснение:

а) Последовательность a₂, a₄, ..., a₂ₙ, ... является арифметической прогрессией.

Пусть aₙ = a₁ + (n-1)d, тогда a₂ₙ = a₁ + (2n-1)d. Разность между соседними членами: a₄ - a₂ = (a₁ + 3d) - (a₁ + d) = 2d, a₆ - a₄ = (a₁ + 5d) - (a₁ + 3d) = 2d. Так как разность постоянна, то утверждение верно.

б) Последовательность a₁ - 1, a₂ - 1, ..., aₙ - 1, ... является арифметической прогрессией.

Разность между соседними членами: (a₂ - 1) - (a₁ - 1) = a₂ - a₁ = d. Так как разность постоянна, то утверждение верно.

в) Последовательность 2a₁, 2a₂, ..., 2aₙ, ... является арифметической прогрессией.

Разность между соседними членами: 2a₂ - 2a₁ = 2(a₂ - a₁) = 2d. Так как разность постоянна, то утверждение верно.

г) Последовательность a₁², a₂², ..., aₙ², ... является арифметической прогрессией?

Разность между соседними членами: a₂² - a₁² = (a₁ + d)² - a₁² = a₁² + 2a₁d + d² - a₁² = 2a₁d + d². a₃² - a₂² = (a₁ + 2d)² - (a₁ + d)² = a₁² + 4a₁d + 4d² - a₁² - 2a₁d - d² = 2a₁d + 3d². Разность между соседними членами не является постоянной, то утверждение неверно.

Ответ: Утверждения а), б), в) верны, утверждение г) неверно.

Проверка за 10 секунд: Вспомни определение арифметической прогрессии и проверь, сохраняется ли постоянная разность между членами.

Доп. профит: Редфлаг. Возведение в квадрат может нарушить свойства арифметической прогрессии.