648. Докажите, что если (уₙ) — арифметическая прогрессия, то: a) y₂ + y₇ = y₄ + y₅; б) yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = yₙ + yₙ₊₅, где n > 5.

Краткое пояснение:

а) Докажем, что y₂ + y₇ = y₄ + y₅.

Пусть y₁ - первый член, d - разность прогрессии.

y₂ = y₁ + d

y₇ = y₁ + 6d

y₄ = y₁ + 3d

y₅ = y₁ + 4d

Тогда:

y₂ + y₇ = (y₁ + d) + (y₁ + 6d) = 2y₁ + 7d

y₄ + y₅ = (y₁ + 3d) + (y₁ + 4d) = 2y₁ + 7d

Так как 2y₁ + 7d = 2y₁ + 7d, то y₂ + y₇ = y₄ + y₅.

б) Докажем, что yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = yₙ + yₙ₊₅, где n > 5.

yₙ₋₅ = y₁ + (n - 6)d

yₙ₊₁₀ = y₁ + (n + 9)d

yₙ = y₁ + (n - 1)d

yₙ₊₅ = y₁ + (n + 4)d

Тогда:

yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = (y₁ + (n - 6)d) + (y₁ + (n + 9)d) = 2y₁ + (2n + 3)d

yₙ + yₙ₊₅ = (y₁ + (n - 1)d) + (y₁ + (n + 4)d) = 2y₁ + (2n + 3)d

Так как 2y₁ + (2n + 3)d = 2y₁ + (2n + 3)d, то yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = yₙ + yₙ₊₅.

Ответ: Доказано.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что при упрощении выражений все члены сокращаются и равенство выполняется.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Знание и использование свойств арифметической прогрессии позволяет упрощать сложные выражения и доказывать равенства.