883. Верно ли для положительных чисел а и b, что: а) если a² > b², то a³ > b³; б) если a³ > b³, то a² > b²?

Решение: а) Если a² > b², то a³ > b³. Это верно для положительных чисел a и b. Если a² больше b², то и a, и b - положительные числа (т.к. квадрат любого числа положителен). Тогда, умножив обе части неравенства a² > b² на a (которое больше 0), получим a³ > ab². Затем, умножив a² > b² на b (которое больше 0), получим a²b > b³. Так как a² > b², значит a³ > ab² > b³. Следовательно, a³ > b³. б) Если a³ > b³, то a² > b². Это тоже верно для положительных чисел a и b. Если a³ больше b³, то и a, и b - положительные числа (т.к. куб любого положительного числа положителен). Чтобы доказать a² > b², мы можем извлечь кубический корень из обеих частей неравенства a³ > b³, получив a > b. Далее, умножив обе части неравенства a > b на a (которое больше 0), получим a² > ab. Затем, умножив a > b на b (которое больше 0), получим ab > b². Так как a > b, то a² > ab > b². Следовательно, a² > b². Ответ: а) Верно. б) Верно.