Вариант ІІІ (для более подготовленных учащихся) 1. На рисунке 37 прямые АВ и CD пересекаются в точ- ке Е, СЕ = BE, ∠C=∠B, AA1 и DD1 – биссектрисы тре- угольников АСЕ и ДВЕ. Докажите, что AA₁ = DD₁.

Решение:

1. Так как CE = BE и ∠C = ∠B, то треугольник BCE равнобедренный, и следовательно, углы ∠BEC = ∠BEC.

   Так как AA₁ и DD₁ – биссектрисы треугольников ACE и DBE, то ∠CAA₁ = 1/2∠CAE и ∠EDD₁ = 1/2∠DEB.

   Так как ∠C = ∠B, то и половины этих углов равны, то есть ∠CAA₁ = ∠EDD₁.

   Рассмотрим треугольники CAA₁ и EDD₁. В них:
   CA = ED (так как CE = BE и ∠C = ∠B, то AC = BD).
   ∠CAA₁ = ∠EDD₁ (как показано выше).
   ∠ACA₁ = ∠BDE₁ = ∠EDB (так как углы ∠ACE и ∠DBE равны как углы равнобедренных треугольников BCE и BDE).

   Следовательно, треугольники CAA₁ и EDD₁ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AA₁ = DD₁.

   Ответ: AA₁ = DD₁.