Вариант Б1, задача 1.

Решение:

Дано:

• \[ \angle B = \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \angle ADC = 50^{\circ} \]
• \[ \angle ADB = 40^{\circ} \]

Доказать: ╨ ABD = ╨ DCA.

Доказательство:

1. Анализ углов: Мы знаем, что ╨ ADC = ╨ ADB + ╨ BDC. Следовательно, ╨ BDC = ╨ ADC - ╨ ADB = 50° - 40° = 10°.
2. Рассмотрим ╨ ABD: У нас есть ╨ ADB = 40° и ╨ B = 90°. Сумма углов в ╨ ABD равна 180°, поэтому ╨ BAD = 180° - 90° - 40° = 50°.
3. Рассмотрим ╨ DCA: У нас есть ╨ C = 90° и ╨ ADC = 50°. Сумма углов в ╨ DCA равна 180°, поэтому ╨ CAD = 180° - 90° - 50° = 40°.
4. Сравнение треугольников ╨ ABD и ╨ DCA:
• ╨ ADB = 40° (дано), ╨ CAD = 40° (найдено).
• ╨ BAD = 50° (найдено), ╨ ADC = 50° (дано).
• Сторона AD является общей для обоих треугольников.
5. Вывод: По двум углам и общей стороне (∅ CA = ∅ BD - это не верно, это будет следствием) треугольники ╨ ABD и ╨ DCA равны по второму признаку равенства треугольников (углу и прилежащим сторонам), если бы AD была стороной, или по первому признаку (двум углам и стороне между ними). В данном случае, мы имеем равенство углов ╨ ADB = ╨ CAD и ╨ BAD = ╨ ADC, а сторона AD - общая. Следовательно, ╨ ABD = ╨ DCA по первому признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Вывод: ╨ ABD = ╨ DCA.