Вариант 1, Задание 2: В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOC и AOD. \(OA\) и \(OC\) являются радиусами окружности, поэтому \(OA = OC\). Аналогично, \(OA = OD\).

Угол \(\angle BAC\) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Угол \(\angle BAD\) — вписанный угол, опирающийся на дугу BD.

По условию, \(\angle BAC = \angle BAD\). Это означает, что дуги, на которые опираются эти углы, равны: дуга BC = дуга BD.

Равные дуги соответствуют равным хордам. Следовательно, хорда AC равна хорде AD.

Альтернативное доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и ABD. \(AB\) — общий диаметр. Угол \(\angle ACB\) вписан в окружность и опирается на диаметр, значит, \(\angle ACB = 90^{\circ}\). Аналогично, \(\angle ADB = 90^{\circ}\).

В прямоугольных треугольниках ABC и ABD:

• \(AB\) — общая гипотенуза.
• \(\angle BAC = \angle BAD\) (по условию).

По гипотенузе и острому углу, треугольники ABC и ABD равны (по признаку равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \(AC = AD\).