Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) \frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x}{x^2-16}; 6) \frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} =2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребова- лось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решите уравнение:

1. а) $$\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x}{x^2-16}$$
   ОДЗ: $$x^2 - 16
   eq 0$$, $$x
   eq \pm 4$$
   $$3x + 4 = x$$
   $$2x = -4$$
   $$x = -2$$
   Ответ: $$x = -2$$
2. б) $$\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} =2$$
   ОДЗ: $$x
   eq 5$$, $$x
   eq 0$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2$$
   $$\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2$$
   $$\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2$$
   $$11x - 40 = 2(x^2 - 5x)$$
   $$11x - 40 = 2x^2 - 10x$$
   $$2x^2 - 21x + 40 = 0$$
   $$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121$$
   $$x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8$$
   $$x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$
   Ответ: $$x_1 = 8$$, $$x_2 = 2.5$$

2. Задача на движение.

Пусть собственная скорость катера равна $$x \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Скорость катера против течения равна $$(x - 3) \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Скорость катера по течению равна $$(x + 3) \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{12}{x-3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{5}{x+3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру, равно $$\frac{18}{x}$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{12x(x+3) + 5x(x-3)}{(x-3)x(x+3)} = \frac{18(x-3)(x+3)}{(x-3)x(x+3)}$$

$$12x^2 + 36x + 5x^2 - 15x = 18(x^2 - 9)$$

$$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$$

$$x^2 - 21x - 162 = 0$$

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$$

$$x_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

$$x_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то корень $$x = -6$$ - посторонний.

Ответ: 27 км/ч