Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) \frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}; 6) \frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} =3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной доро- ге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

1. Решите уравнение:

1. a) $$\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}$$
   ОДЗ: $$x^2 - 9
   eq 0$$, $$x
   eq \pm 3$$
   $$x^2 = 12 - x$$
   $$x^2 + x - 12 = 0$$
   По теореме Виета:
   $$x_1 + x_2 = -1$$
   $$x_1 \cdot x_2 = -12$$
   $$x_1 = -4$$
   $$x_2 = 3$$
   Так как $$x
   eq 3$$, то корень $$x = 3$$ - посторонний.
   Ответ: $$x = -4$$
2. б) $$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} =3$$
   ОДЗ: $$x
   eq 2$$, $$x
   eq 0$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3$$
   $$\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$
   $$\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$
   $$11x - 10 = 3(x^2 - 2x)$$
   $$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$
   $$3x^2 - 17x + 10 = 0$$
   $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$$
   $$x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$
   $$x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
   Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = \frac{2}{3}$$

2. Задача на движение.

Пусть скорость велосипедиста из А в В равна $$x \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Тогда время, затраченное на путь из А в В, равно $$\frac{27}{x}$$ ч.

Расстояние из В в А равно $$27 - 7 = 20$$ км.

Скорость велосипедиста из В в А равна $$(x - 3) \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Время, затраченное на путь из В в А, равно $$\frac{20}{x-3}$$ ч.

Из условия задачи известно, что время на обратном пути на 10 минут меньше, чем на путь из А в В, что составляет $$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$$ часа.

Составим уравнение:

$$\frac{27}{x} - \frac{20}{x-3} = \frac{1}{6}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{27 \cdot 6 \cdot (x-3) - 20 \cdot 6 \cdot x}{6x(x-3)} = \frac{x(x-3)}{6x(x-3)}$$

$$162(x-3) - 120x = x^2 - 3x$$

$$162x - 486 - 120x = x^2 - 3x$$

$$42x - 486 = x^2 - 3x$$

$$x^2 - 45x + 486 = 0$$

$$D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81$$

$$x_1 = \frac{45 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

$$x_2 = \frac{45 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18$$

Если скорость велосипедиста из А в В равна 18 км/ч, то скорость на обратном пути равна 15 км/ч, что удовлетворяет условию.

Ответ: 18 км/ч