В2. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и противолежащий стороне а угол \( \alpha = 30^\circ \). Найдите остальные два угла и третью сторону.

Решение:

Используем теорему синусов для нахождения угла \( \beta \) напротив стороны \( b \):

\( \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} \)

\( \frac{6}{\sin{30^\circ}} = \frac{8}{\sin{\beta}} \)

\( \frac{6}{0.5} = \frac{8}{\sin{\beta}} \)

\( 12 = \frac{8}{\sin{\beta}} \)

\( \sin{\beta} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

\( \beta = \arcsin{\frac{2}{3}} \approx 41.81^\circ \)

Теперь найдём третий угол \( \gamma \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\( \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 30^\circ - 41.81^\circ = 108.19^\circ \)

Теперь найдём третью сторону \( c \) по теореме косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \)

\( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{108.19^\circ} \)

\( c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos{108.19^\circ} \)

\( c^2 = 100 - 96 \cdot (-0.3125) \)

\( c^2 = 100 + 30 \)

\( c^2 = 130 \)

\( c = \sqrt{130} \approx 11.40 \) см.

Ответ: \( \beta \approx 41.81^\circ \), \( \gamma \approx 108.19^\circ \), \( c \approx 11.40 \) см.