В1. Даны четыре точки A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2), D(-1; 1). Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат.

Доказательство:

Чтобы доказать, что ABCD — квадрат, нужно проверить, что все стороны равны и диагонали равны.

1. Найдём длины сторон:
   • \( AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)
   • \( BC = \sqrt{(0-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)
   • \( CD = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)
   • \( DA = \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)

   Все стороны равны \( \sqrt{2} \). Значит, ABCD — ромб.

2. Найдём длины диагоналей:
   • \( AC = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{0+4} = \sqrt{4} = 2 \)
   • \( BD = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4+0} = \sqrt{4} = 2 \)

   Диагонали \( AC \) и \( BD \) равны 2.

Так как все стороны четырехугольника равны и его диагонали равны, то ABCD — квадрат.

Ответ: Доказано.