В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 6 см и 10 см. Диагональ АС, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите КС.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD, где \( BC \parallel AD \). Диагонали AC и BD пересекаются в точке K.

Из подобия треугольников \( \triangle BKC \) и \( \triangle DKA \) (по двум углам: \( \angle BKC = \angle DKA \) как вертикальные, \( \angle KBC = \angle KDA \) как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей BD, \( \angle KCB = \angle KAD \) как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей AC):

\( \frac{BC}{AD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BK}{KD} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{6}{10} = \frac{KC}{KA} \)

\( \frac{3}{5} = \frac{KC}{KA} \)

Это означает, что \( KC = 3x \) и \( KA = 5x \) для некоторого \( x \).

Длина диагонали AC равна 32 см, следовательно:

\( AC = KC + KA = 3x + 5x = 8x \)

\( 8x = 32 \)

\( x = \frac{32}{8} = 4 \) см.

Теперь найдем длину KC:

\( KC = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.