С2. В окружности проведены хорды АВ и СД, пересекающиеся в точке К, АК = 8 см, ВК = 6 см. Площадь треугольника AKD равна 128 см². Найдите площадь треугольника СВК.

Решение:

По условию, хорды AB и CD пересекаются в точке K. Площадь \( \triangle AKD = 128 \) см².

\( AK = 8 \) см, \( BK = 6 \) см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} ab \sin(\alpha) \), где \( a \) и \( b \) — две стороны, а \( \alpha \) — угол между ними.

Рассмотрим \( \triangle AKD \) и \( \triangle BKC \).

Углы \( \angle AKD \) и \( \angle BKC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle AKD = \angle BKC \). Обозначим этот угол как \( \alpha \).

Углы \( \angle KAD \) и \( \angle KCB \) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу BD, поэтому \( \angle KAD = \angle KCB \). Обозначим этот угол как \( \beta \).

Углы \( \angle KDA \) и \( \angle KBC \) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу AC, поэтому \( \angle KDA = \angle KBC \). Обозначим этот угол как \( \gamma \).

Следовательно, \( \triangle AKD \) подобен \( \triangle BKC \) по первому признаку подобия (по двум углам, так как \( \angle AKD = \angle BKC \) и \( \angle KAD = \angle KCB \)).

Из подобия следует отношение сторон:

\( \frac{AK}{BK} = \frac{DK}{CK} = \frac{AD}{BC} \)

\( \frac{8}{6} = \frac{DK}{CK} \)

\( \frac{4}{3} = \frac{DK}{CK} \)

Значит, \( DK = 4x \) и \( CK = 3x \) для некоторого \( x \).

Теперь найдем площадь \( \triangle BKC \) через отношение площадей подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{AKD}}{S_{BKC}} = \left( \frac{AK}{BK} \right)^2 = \left( \frac{DK}{CK} \right)^2 \)

\( \frac{128}{S_{BKC}} = \left( \frac{8}{6} \right)^2 = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9} \)

\( S_{BKC} = \frac{128 \times 9}{16} \)

\( S_{BKC} = 8 \times 9 = 72 \) см².

Ответ: 72 см².