54.22. В трёх вершинах равностороннего треугольника со стороной а расположены точечные заряженные тела массой т и зарядом д, соединён- ные между собой нерастяжимыми и невесомыми нитями. Одну из нитей. соединяющих тела, пережгли. Определите скорость и среднего тела в мо- мент времени, когда все три тела будут расположены на одной прямой. [v=\sqrt{\frac{q}{6πε_{0} ma}} ]

Ответ: \[v = \sqrt{\frac{q^2}{6 \pi \varepsilon_0 m a}}\]

Решение:

1. Начальная потенциальная энергия системы: \[U_1 = 3 \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}\]
2. Когда тела расположены на одной прямой, расстояние между крайними телами 2a. Потенциальная энергия системы: \[U_2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} + \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} + \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 (2a)} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} \left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}\]
3. Изменение потенциальной энергии: \[\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{5}{2} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} - 3 \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} = -\frac{1}{2} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}\]
4. Изменение потенциальной энергии переходит в кинетическую энергию среднего тела: \[\frac{m v^2}{2} = -\Delta U = \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}\]
5. Отсюда находим скорость среднего тела: \[v = \sqrt{\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m a}} = \frac{q}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 m a}}\]

Ответ: \[v = \sqrt{\frac{q^2}{6 \pi \varepsilon_0 m a}}\]