54.23. Четыре положительных точечных заряда расположены в вершинах жёстко закреплённой квадратной рамки со стороной а. Частица массой т, имеющая положительный заряда, движется вдоль оси, пер- пендикулярной плоскости рамки и проходящей через центр квадрата О. Какую минимальную скорость на большом расстоянии от рамки должна иметь частица, чтобы пролететь эту рамку? Какой будет скорость, если рамку заменить кольцом радиусом R с зарядом Q? [v_{0 min} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}qQ}{πε_{0}ma}}; v'_{0 min} = \sqrt{\frac{qQ}{2πε_{0}mR}} ]

Ответ: \[v_{0 min} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}qQ}{\pi \varepsilon_{0}ma}}; v'_{0 min} = \sqrt{\frac{qQ}{2\pi \varepsilon_{0}mR}}\]

Решение:

1. Рассмотрим случай с квадратной рамкой.
2. Потенциал в центре квадрата, созданный четырьмя зарядами Q: \[\varphi = 4 \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{Q}{\pi \varepsilon_0 r}\] где r - расстояние от вершины квадрата до его центра.
3. Так как сторона квадрата равна a, то \[r = \frac{a}{\sqrt{2}}\]
4. Потенциал: \[\varphi = \frac{Q \sqrt{2}}{\pi \varepsilon_0 a}\]
5. Изменение потенциальной энергии частицы с зарядом q: \[\Delta U = q \varphi = \frac{q Q \sqrt{2}}{\pi \varepsilon_0 a}\]
6. Изменение кинетической энергии частицы: \[\Delta K = \frac{m v_{min}^2}{2}\]
7. Закон сохранения энергии: \[\frac{m v_{min}^2}{2} = \frac{q Q \sqrt{2}}{\pi \varepsilon_0 a}\]
8. Отсюда находим минимальную скорость: \[v_{min} = \sqrt{\frac{2 q Q \sqrt{2}}{\pi \varepsilon_0 m a}}\]
9. Рассмотрим случай с кольцом.
10. Потенциал в центре кольца с зарядом Q: \[\varphi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\]
11. Изменение потенциальной энергии частицы с зарядом q: \[\Delta U = q \varphi = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\]
12. Изменение кинетической энергии частицы: \[\Delta K = \frac{m v'_{min}^2}{2}\]
13. Закон сохранения энергии: \[\frac{m v'_{min}^2}{2} = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\]
14. Отсюда находим минимальную скорость: \[v'_{min} = \sqrt{\frac{q Q}{2 \pi \varepsilon_0 m R}}\]

Ответ: \[v_{0 min} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}qQ}{\pi \varepsilon_{0}ma}}; v'_{0 min} = \sqrt{\frac{qQ}{2\pi \varepsilon_{0}mR}}\]