54.24. Незакреплённое кольцо радиуса В и массы т заряжено за- рядом д. На достаточно большом удалении от кольца на его оси распо- ложено тело малых размеров, имеющее такую же массу ти заряд д, одноимённый с зарядом кольца. Телу сообщают скорость и в направле- нии кольца вдоль его оси, достаточную для достижения кольца. Опреде- лите скорость тела, относительно кольца в момент пролёта им центра кольца. [v_{0} = \sqrt{v^{2}-\frac{q^{2}}{πme_{0} R}} ]

Ответ: \[v_{0} = \sqrt{v^{2}-\frac{q^{2}}{\pi \varepsilon_{0} R}}\]

Решение:

1. Начальная энергия системы (на большом удалении): \[E_1 = \frac{m v^2}{2}\] (только кинетическая энергия тела)
2. Потенциал кольца в его центре: \[\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\]
3. Энергия системы в момент пролёта телом центра кольца: \[E_2 = \frac{m v_0^2}{2} + q \varphi = \frac{m v_0^2}{2} + \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R}\] (кинетическая энергия тела + потенциальная энергия взаимодействия тела и кольца)
4. Закон сохранения энергии: \[E_1 = E_2\] \[\frac{m v^2}{2} = \frac{m v_0^2}{2} + \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R}\]
5. Выражаем скорость тела относительно кольца: \[\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v^2}{2} - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R}\] \[v_0^2 = v^2 - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 m R}\] \[v_0 = \sqrt{v^2 - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 m R}}\]

Ответ: \[v_{0} = \sqrt{v^{2}-\frac{q^{2}}{\pi \varepsilon_{0} R}}\]