15. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 16, НС = 4 и ∠ACB = 77°. Найдите ∠АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как ВМ - медиана, то АМ = МС = АС / 2 = 16 / 2 = 8.
2. Рассмотрим треугольник ВНС: $$BH = HC \cdot tg(77°) = 4tg(77°)$$.
3. AH = AC - HC = 16 - 4 = 12.
4. Рассмотрим треугольник АВН: $$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + (4tg(77°))^2}$$.
5. $$AB = \sqrt{144 + 16tg^2(77°)}$$.
6. Для того, чтобы найти угол АМВ, необходимо рассмотреть треугольник АВМ. Но у нас недостаточно данных.
7. Рассмотрим треугольник ВМС. По теореме синусов: $$\frac{BM}{sin(C)} = \frac{MC}{sin(\angle MBC)} = \frac{BC}{sin(\angle BMC)}$$.
8. $$BC = \sqrt{HC^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + (4tg(77°))^2} = \sqrt{16 + 16tg^2(77°)} = 4\sqrt{1 + tg^2(77°)}$$.
9. $$MC = 8$$.
10. $$\frac{BM}{sin(77°)} = \frac{8}{sin(\angle MBC)}$$.
11. Мы не можем найти угол MBC.
12. Рассмотрим треугольник AHC. Угол AHC = 90 градусов, АС = 16, НС = 4, тогда AH = 16 - 4 = 12. Следовательно, угол А = $$arcsin(4/16)$$.
13. Мы не можем найти угол АМВ, так как недостаточно данных.

Ответ: недостаточно данных для решения.