В треугольнике АВС угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку P так, что угол АСР равен 20°. Найдите градусную меру угла АРС.

Ответ: 65°

1. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, следовательно, углы при основании AB равны 45°. \[\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ\]
2. Угол PCA равен 20° по условию, следовательно, угол BCP равен: \[\angle BCP = \angle ACB - \angle PCA = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\]
3. Рассмотрим треугольник APC. Сумма углов треугольника равна 180°. \[\angle APC = 180^\circ - \angle PAC - \angle PCA = 180^\circ - 45^\circ - 20^\circ = 115^\circ\]
4. Рассмотрим треугольник BPC. Сумма углов треугольника равна 180°. \[\angle BPC = 180^\circ - \angle PBC - \angle PCB = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ\]
5. APC и BPC - смежные, их сумма равна 180°. \[\angle APC + \angle BPC = 180^\circ\] Проверим: \[115^\circ + 65^\circ = 180^\circ\]

Ответ: 115°