10. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 7, tgA = \frac{33}{4√33}. Найдите АС.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$$tgA = \frac{BC}{AC}$$

Также мы знаем, что $$AB = 7$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Выразим $$BC$$ через $$AC$$ и тангенс угла $$A$$:

$$BC = AC \cdot tgA = AC \cdot \frac{33}{4\sqrt{33}}$$

Подставим в теорему Пифагора:

$$7^2 = AC^2 + (AC \cdot \frac{33}{4\sqrt{33}})^2$$

$$49 = AC^2 + AC^2 \cdot \frac{33^2}{16 \cdot 33}$$

$$49 = AC^2 + AC^2 \cdot \frac{33}{16}$$

$$49 = AC^2 (1 + \frac{33}{16})$$

$$49 = AC^2 (\frac{16 + 33}{16})$$

$$49 = AC^2 \cdot \frac{49}{16}$$

$$AC^2 = \frac{49 \cdot 16}{49} = 16$$

$$AC = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: 4