3 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади треугольников АВК и КВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите АС, если = .

Пусть площадь треугольника ABK равна S, тогда площадь треугольника KBC равна 3S.

Отношение площадей треугольников ABK и KBC равно 1 : 3, то есть

$$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle KBC}} = \frac{1}{3}$$

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$

где a - основание, h - высота.

В треугольниках ABK и KBC высоты, опущенные из вершины B, являются общими. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований AK и KC:

$$\frac{AK}{KC} = \frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle KBC}} = \frac{1}{3}$$

Дано:

$$\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}$$

Значит:

$$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$$

$$AC = 3 \cdot BC = 3 \cdot 10 = 30 \text{ см}$$

Ответ: AC = 30 см.