10. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ДАСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ДВАХ = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 10.

Ответ: 10

• Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°.
• ∠ABC = 180° - 2 * 75° = 180° - 150° = 30°.
• Так как AX = BX, треугольник ABX равнобедренный, и ∠BAX = ∠ABX = 30°.
• ∠AXB = 180° - 2 * 30° = 180° - 60° = 120°.
• ∠BAX = ∠YAX = 30°.
• ∠BAY = ∠BAX + ∠YAX = 30° + 30° = 60°.
• Рассмотрим треугольник ABY. В нем ∠BAY = 60°, ∠ABY = 30°.
• Тогда ∠AYB = 180° - 60° - 30° = 90°.
• В прямоугольном треугольнике ABY катет AY лежит против угла 30°, следовательно, AY = AB / 2.
• Так как AX = BX, то AB = 2 * AX = 2 * 10 = 20.
• AY = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10