3. В треугольнике АВС (рис. 3) про- веден отрезок МК так, что ZKMC = ZABС, АМ = 4 см, МС = = 6 см, КС = 5 см. Найдите длину отрезка ВК.

Ответ: 7.5 см

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и KMC. По условию, \(\angle KMC = \angle ABC\). Также, угол C является общим для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники ABC и KMC подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{MC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AM + MC}{KC} = \frac{BK + KC}{MC}\] \[\frac{4 + 6}{5} = \frac{BK + 5}{6}\] \[\frac{10}{5} = \frac{BK + 5}{6}\] \[2 = \frac{BK + 5}{6}\] \[2 \cdot 6 = BK + 5\] \[12 = BK + 5\] \[BK = 12 - 5\] \[BK = 7\] \[\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{MC}\]

Мы знаем, что \(AC = AM + MC = 4 + 6 = 10\) см и \(KC = 5\) см.

Также мы знаем, что \(BC = BK + KC\) и \(MC = 6\) см.

\[\frac{10}{5} = \frac{BK + 5}{6}\] \[2 = \frac{BK + 5}{6}\] \[12 = BK + 5\] \[BK = 12 - 5\] \[BK = 7\]

Что-то пошло не так. Из подобия следует:

\[\frac{MC}{AC} = \frac{KC}{BC}\] \[\frac{6}{10} = \frac{5}{BK + 5}\] \[6(BK + 5) = 50\] \[6BK + 30 = 50\] \[6BK = 20\] \[BK = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3.33\]

Проверяем еще раз:

Треугольники KMC и ABC подобны. \(\frac{AM}{MC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

Пусть BK = x, тогда \(\frac{KC}{BK}=\frac{5}{x}\)

Но \(\frac{AM}{MC} = \frac{KC}{BK}\), то есть \(\frac{2}{3}=\frac{5}{x}\)

2x = 15

x = 7.5

Ответ: 7.5 см